深入理解 SciPy trim_mean 的截尾机制

`scipy.stats.trim_mean` 用于计算截尾均值，其关键在于 `proportiontocut` 参数指定的是从数据集两端移除的*观测值*（数据点）的比例，而非基于数值百分位数。当此比例导致非整数个观测值时，函数会向下取整，尤其对于小数据集，可能导致实际未移除任何观测值。本文将详细解析其工作原理、与百分位数截尾的区别，并提供使用示例。

什么是截尾均值？

截尾均值（Trimmed Mean），又称截断均值或修正均值，是一种统计量，旨在通过移除数据集两端的极端值来提高均值的鲁棒性。它通过计算排序后数据集中间部分的平均值，从而减少异常值对均值的影响。

scipy.stats.trim_mean 的工作原理

scipy.stats.trim_mean 函数的 proportiontocut 参数定义了从数据两端各截去多少比例的观测值。这里的“比例”指的是观测值数量的比例，而不是基于数据值的百分位数。

其核心行为可以总结为以下几点：

1. 基于观测值数量： trim_mean 首先会对输入数据进行排序。然后，根据 proportiontocut 计算需要从排序后数据两端各移除多少个观测值。
2. 向下取整： 如果 proportiontocut 乘以数据集长度得到的结果不是一个整数（即需要移除非整数个观测值），scipy.stats.trim_mean 会“截去更少”，这意味着它会向下取整到最接近的整数。例如，如果需要移除 0.45 个观测值，它会移除 0 个。
3. 对小数据集的影响： 由于向下取整的机制，对于观测值数量较少的数据集，proportiontocut 必须足够大才能实际移除任何观测值。具体来说，只有当 proportiontocut 大于 1 / len(data) 时，才可能至少从每一端移除一个观测值。

让我们通过一个示例来理解这一点。

示例代码：基本用法与意外结果

考虑一个包含 9 个数据点的数据集，我们尝试从两端各截去 5% 的观测值。

from scipy.stats import trim_mean
import numpy as np

data = [1, 2, 2, 3, 4, 30, 4, 4, 5]
# 对数据进行排序以更好地理解截尾过程，尽管trim_mean内部会处理
sorted_data = sorted(data)
print(f"原始排序数据: {sorted_data}")

trim_percentage = 0.05  # 从每端截去 5%

result = trim_mean(data, trim_percentage)
print(f"使用 trim_mean 截尾均值 = {result}")
print(f"原始数据均值 = {np.mean(data)}")

输出结果：

原始排序数据: [1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 30]
使用 trim_mean 截尾均值 = 6.111111111111111
原始数据均值 = 6.111111111111111

在这个例子中，trim_mean 的结果与原始数据的均值完全相同。这是因为数据集有 9 个观测值，5% 的 9 是 0.45。由于无法截去 0.45 个观测值，函数向下取整，实际上从两端各截去了 0 个观测值。因此，所有数据点都被用于计算均值。

截尾比例对结果的影响：临界点行为

为了验证上述向下取整的行为，我们可以观察当 proportiontocut 刚刚超过 1 / len(data) 时的变化。对于 9 个观测值，1 / 9 大约是 0.1111。

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示例代码：临界点行为

from scipy import stats
import numpy as np

x = [1, 2, 2, 3, 4, 30, 4, 4, 5]
sorted_x = sorted(x)
print(f"排序后的数据: {sorted_x}")

# 计算每个观测值对应的比例
p = 1 / len(x) # 大约 0.1111

# 略小于 1/len(x)
eps = 1e-15
result_less_than_p = stats.trim_mean(x, p - eps)
print(f"当 proportiontocut = {p - eps:.4f} 时 (略小于1/9)，截尾均值 = {result_less_than_p}")
print(f"此时截去的观测值数量: {int(len(x) * (p - eps))} from each end")

# 略大于 1/len(x)
result_greater_than_p = stats.trim_mean(x, p + eps)
print(f"当 proportiontocut = {p + eps:.4f} 时 (略大于1/9)，截尾均值 = {result_greater_than_p}")
print(f"此时截去的观测值数量: {int(len(x) * (p + eps))} from each end")

# 手动计算当截去1个观测值时的均值
# 截去 [1] 和 [30]，剩下 [2, 2, 3, 4, 4, 4, 5]
manually_trimmed_data = [2, 2, 3, 4, 4, 4, 5]
print(f"手动截去1个观测值后的均值 = {np.mean(manually_trimmed_data)}")

输出结果：

排序后的数据: [1, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 30]
当 proportiontocut = 0.1111 时 (略小于1/9)，截尾均值 = 6.111111111111111
此时截去的观测值数量: 0 from each end
当 proportiontocut = 0.1111 时 (略大于1/9)，截尾均值 = 3.4285714285714284
此时截去的观测值数量: 1 from each end
手动截去1个观测值后的均值 = 3.4285714285714284

从结果可以看出，当 proportiontocut 略小于 1/9 时，仍未截去任何观测值。而当它略大于 1/9 时，函数开始从两端各截去一个观测值（即 9 * (1/9 + eps) 向上取整为 1），此时结果与手动移除最小和最大值后的均值一致。

与基于百分位数截尾的区别

用户经常会将 trim_mean 的行为误解为基于数值的百分位数截尾。也就是说，他们期望函数会移除那些值落在第 P 个百分位数以下和第 (100-P) 个百分位数以上的数据点。然而，scipy.stats.trim_mean 并非如此工作。

示例代码：手动百分位数截尾

为了对比，我们手动实现一个基于百分位数截尾的均值计算：

import numpy as np

data = [1, 2, 2, 3, 4, 30, 4, 4, 5]
p5, p95 = np.percentile(data, [5, 95]) # 计算 5% 和 95% 百分位数

print(f"数据的 5th 百分位数 = {p5}")
print(f"数据的 95th 百分位数 = {p95}")

# 筛选出落在 5% 和 95% 百分位数之间的数据
trimmed_by_percentile_data = list(filter(lambda x: p5 < x < p95, data))
print(f"基于百分位数截尾后的数据: {trimmed_by_percentile_data}")

trim_average_percentile = np.mean(trimmed_by_percentile_data)
print(f"基于百分位数截尾的均值 = {trim_average_percentile}")

输出结果：

数据的 5th 百分位数 = 1.4
数据的 95th 百分位数 = 19.999999999999993
基于百分位数截尾后的数据: [2, 2, 3, 4, 4, 4, 5]
基于百分位数截尾的均值 = 3.4285714285714284

可以看到，手动基于百分位数截尾的结果是 3.42857，这与 scipy.stats.trim_mean(x, p + eps) 的结果一致，因为在这个特定数据集中，5% 和 95% 百分位数恰好排除了最小值和最大值。但重要的是要理解，trim_mean 达到这个结果是通过移除一个观测值，而不是通过检查值是否落在某个百分位数阈值之内。

注意事项与最佳实践

1. 明确 proportiontocut 的含义： 始终记住 scipy.stats.trim_mean 中的 proportiontocut 是指从数据两端移除的观测值数量的比例，而非基于数据值的百分位数。
2. 小数据集处理： 对于小数据集，proportiontocut 需要足够大（通常大于 1 / len(data)）才能确保实际有观测值被移除。否则，函数可能不会移除任何数据。
3. 何时使用 trim_mean： 当你需要通过移除固定比例的极端观测值来计算一个更稳健的均值时，trim_mean 是一个合适的选择。这在处理可能含有少量异常值的数据时很有用。
4. 百分位数截尾的需求： 如果你的需求是基于数据的值落在特定百分位数范围之外而进行截尾，你需要手动实现这一逻辑（如上述 np.percentile 示例），或者寻找其他提供此类功能的库。SciPy 目前没有直接提供基于百分位数截尾的函数。
5. 文档阅读： 建议仔细阅读官方文档，并理解其描述的细微之处。如果发现文档有歧义，可以考虑向项目提交文档改进建议。

总结

scipy.stats.trim_mean 是一个有用的工具，用于计算截尾均值，以提高统计量的鲁棒性。然而，理解其 proportiontocut 参数是基于观测值数量的比例进行截尾，并且在计算截尾数量时会向下取整，这对于正确使用该函数至关重要。对于需要基于数据值百分位数进行截尾的场景，用户需要采取不同的实现方法。