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碧海醫心
发布时间：2024-11-30 12:33:31
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原创
曲线积分化简疑问
有同学在求解曲线积分时遇到了难题，想知道第三步的化简是如何展开的。
问题分析
原曲线积分表达为：
∫ from 0 to 1 y^2 / √(1 - y^2) dy
答案解析
第三步中使用了换元法。将 y = sin(t) 代入原积分中，y 在 (0,1) 对应的 t 在 (0,π/2) 范围内，且 sin(t) 和 cos(t) 在该范围内均为正数。
改写后积分式如下：
∫ from 0 to π/2 sin^2(t) / √(1 - sin^2(t)) d(sin t)
接下来，使用三角恒等式将根号内的表达式化简为 cos(t)，并化简积分极限：
∫ from 0 to π/2 sin^2(t) / cos(t) cos(t) d(sin t) = ∫ from 0 to π/2 sin^2(t) dt
至此，即可求出积分结果。
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