三角函数和差角公式的推导过程，并非如教科书般简洁明了。它需要扎实的几何基础和一定的逻辑推理能力。 我当年学习时，也曾被其繁复的步骤所困扰。
理解和差角公式的关键在于单位圆。 记得当时，我花了很长时间才真正理解单位圆上点的坐标与三角函数值的对应关系。 只有深刻理解这一点，才能流畅地进行后续的推导。 我们从简单的和角公式入手，以余弦为例：cos(α+β) 的推导。
想象一下单位圆，两个角α和β，它们的终边分别与单位圆交于点A和点B。 我们可以通过坐标系来表示A和B的坐标，分别为(cosα, sinα) 和 (cosβ, sinβ)。 接下来，关键在于构造一个辅助角，将α+β表示出来。 这需要用到旋转变换的思想。 我们可以将点B绕原点逆时针旋转α角，得到一个新的点C。 点C的坐标如何确定呢？这需要运用旋转变换的公式， 这部分推导过程需要仔细运用坐标旋转公式，这部分推导过程需要仔细运用坐标旋转公式， 最终你会发现点C的坐标与cos(α+β) 和 sin(α+β) 有着密切的关系。
在这个过程中，一个常见的误区在于对旋转变换公式的理解不够透彻。 我当时就卡在这里很久，反复检查公式的推导过程，才发现自己对坐标的正负号处理不够仔细。 记住，单位圆的坐标系是笛卡尔坐标系，符号的正确性至关重要。
通过坐标的几何关系，我们可以得到点C的坐标与cos(α+β), sin(α+β) 的关系式。 再结合点B的坐标，以及一些三角恒等式，例如cos²α + sin²α = 1，最终便可以推导出cos(α+β) = cosαcosβ - sinαsinβ 以及 sin(α+β) = sinαcosβ + cosαsinβ 这两个公式。
其他和差角公式，例如cos(α-β), sin(α-β), tan(α+β), tan(α-β) 的推导，都可以基于以上两个公式，结合三角恒等式进行推导。 这部分的推导过程相对简单一些，但同样需要细致的运算和严谨的逻辑。 我的建议是，在推导过程中，多画图，多用几何直观来辅助理解，这样能有效避免一些常见的错误。
总而言之，三角函数和差角公式的推导过程需要耐心和细致， 但只要掌握了单位圆和旋转变换的基本原理，并能够认真地进行推导和演算，就能最终理解并掌握这些公式。 切记，实践出真知，多做练习，才能真正熟练运用。
