Codeforces A题：三名游泳者问题解析与高效解法

在算法竞赛的世界里，Codeforces 平台以其高质量的题目和激烈的竞争吸引着众多程序员。本文将聚焦于 Codeforces Round #704 (Div. 2) 中的 A 题，名为“Three Swimmers”（三名游泳者）。 尽管这道题目看似简单，实则蕴含着一些巧妙的逻辑思维。我们将从题目描述出发，逐步剖析解题思路，并提供一份清晰易懂的代码实现，帮助读者更好地理解和掌握此类问题的解题技巧。通过对本题的深入分析，希望能为广大算法爱好者提供一些有价值的参考，并在未来的编程实践中能够游刃有余地解决类似问题。 本博客将深入探讨这个问题的各个方面，旨在提供一个全面且易于理解的指南。无论您是算法竞赛的新手还是经验丰富的参与者，本文都将帮助您提高解决问题的能力。我们将详细解释题目要求，分析关键的解题思路，并提供清晰的代码示例。此外，我们还将讨论一些优化技巧，以确保您的解决方案既正确又高效。通过本文的学习，您将不仅掌握这道特定题目的解法，更重要的是，您将学会如何将类似的逻辑应用于其他编程挑战中。 在后续的内容中，我们将反复提及关键词，例如Codeforces，算法竞赛，游泳者问题，解题思路，代码实现，编程挑战等，以增加SEO关键词密度，确保更多用户能够通过搜索引擎找到这篇文章，获得有价值的帮助。

三名游泳者问题的关键要点

理解题目描述：清晰掌握游泳者运动规律

确定解题思路：找到等待时间的计算方法

代码实现：编写高效的代码逻辑

优化技巧：提升代码性能

特殊情况处理：考虑边界条件和临界情况

题目描述与分析

问题背景

三名游泳者决定在游泳池举办一个派对。在中午，他们从游泳池的左侧开始游泳。第一个游泳者完成整个游泳池的往返需要 a 分钟，第二个游泳者需要 b 分钟，第三个游泳者需要 c 分钟。因此，第一个游泳者将在 0, a, 2a, 3a 分钟后到达左侧，第二个游泳者将在 0, b, 2b, 3b 分钟后到达左侧，第三个游泳者将在 0, c, 2c, 3c 分钟后到达左侧。

你来到游泳池的左侧，恰好在他们开始游泳后 p 分钟。确定你必须等待多久（以分钟为单位），直到其中一名游泳者到达游泳池的左侧。

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输入 第一行包含一个整数 t (1 ≤ t ≤ 1000)，表示测试用例的数量。接下来的 t 行包含测试用例的描述，每行一个。 每行包含四个整数 p, a, b 和 c (1 ≤ p, a, b, c ≤ 10^18)，表示在你到达游泳池的时间以及游泳者完成整个游泳池的往返所需的时间。

输出 对于每个测试用例，输出一个整数，表示你必须等待多久（以分钟为单位），直到其中一名游泳者到达游泳池的左侧。

问题分析

这个问题实际上是一个求最小等待时间的问题。我们需要找到一个最小的非负整数 w，使得 p + w 是 a, b, c 中至少一个数的倍数。

换句话说，我们需要找到 a, b, c 各自的倍数中，大于等于 p 的最小值，然后取这些最小值中的最小值。这个最小值减去 p 就是我们要等待的时间。

关键点：

• 倍数： 游泳者到达左侧的时间是他们各自游泳时间的倍数。
• 等待时间： 我们需要找到一个等待时间，使得总时间是某个游泳者游泳时间的倍数。
• 最小： 我们需要找到的是最小的等待时间。

为了更好地理解，让我们考虑一个具体的例子：假设 p = 9, a = 5, b = 4, c = 8。这意味着你到达游泳池时已经过去了 9 分钟，三个游泳者分别需要 5, 4, 8 分钟完成一次往返。

• 第一个游泳者到达左侧的时间：0, 5, 10, 15, ...
• 第二个游泳者到达左侧的时间：0, 4, 8, 12, 16, ...
• 第三个游泳者到达左侧的时间：0, 8, 16, 24, ...

我们需要找到大于等于 9 的最小值：

• 对于第一个游泳者：10
• 对于第二个游泳者：12
• 对于第三个游泳者：16

这些最小值中的最小值是 10。因此，你需要等待 10 - 9 = 1 分钟。

从这个例子可以看出，核心的运算是找到大于等于 p 的最小倍数。这可以通过向上取整的方式实现。我们将 p 除以 a, b, c，然后向上取整，再乘以 a, b, c 得到各自的最小倍数。

在接下来的章节中，我们将详细介绍如何使用代码实现这个思路，并讨论一些优化技巧。

解题思路与步骤

解题步骤详解

要解决“三名游泳者”问题，我们需要设计一种算法来有效地计算最小等待时间。以下是详细的解题步骤：

1. 输入处理：

   • 读取测试用例的数量 t。

     

   • 对于每个测试用例，读取四个整数 p, a, b, c。

2. 特殊情况处理：
   • 如果 p 是 a, b, c 中至少一个数的倍数，则等待时间为 0。
     • 如果 p % a == 0 || p % b == 0 || p % c == 0，则输出 0 并继续下一个测试用例。
3. 计算等待时间：
   • 否则，我们需要计算 a, b, c 各自的倍数中，大于等于 p 的最小值。
     • 计算 a 的最小倍数：next_a = ((p + a - 1) / a) * a; 这行代码核心在于向上取整的技巧。 p + a - 1 确保了如果 p 不是 a 的整数倍，那么结果至少会增加 a，从而实现向上取整。然后除以 a 并乘以 a，就得到了大于等于 p 的最小的 a 的倍数。
     • 计算 b 的最小倍数：next_b = ((p + b - 1) / b) * b;
     • 计算 c 的最小倍数：next_c = ((p + c - 1) / c) * c;
4. 找到最小等待时间：
   • 计算等待时间：wait_a = next_a - p, wait_b = next_b - p, wait_c = next_c - p。
   • 找到最小等待时间：ans = min(wait_a, min(wait_b, wait_c)); 这里使用了 min 函数来找到三个等待时间中的最小值。这意味着我们将选择最快到达左侧的游泳者。
5. 输出结果：
   • 输出最小等待时间 ans。

这个算法的核心在于向上取整的技巧以及找到三个值中的最小值。通过这种方式，我们可以高效地计算出最小的等待时间。

SEO优化提示： 在编写代码注释时，务必使用关键词，例如“最小倍数”、“向上取整”、“最小等待时间”等。这有助于搜索引擎更好地理解代码的功能，并提高代码的可搜索性。

以下markdown表格展示了一些示例数据以及对应的结果分析，希望能帮助你更好地理解上述步骤：

p	a	b	c	next t_a	next t_b	next t_c	wait t_a	wait t_b	wait t_c	ans	说明
9	5	4	8	10	12	16	1	3	7	1	计算各自的最小倍数 (>= p)，然后取最小值。
10	5	4	8	10	12	16	0	2	6	0	因为 10 是 5 的倍数，所以等待时间为 0。
7	3	6	9	9	6	9	2	-1	2	-1	注意：这里出现负数因为6能整除7，返回0
4	4	5	6	4	5	6	0	1	2	0	因为4能整除4，返回0

代码实现与优化

以下是用 C++ 实现的代码，它展示了如何高效地解决“三名游泳者”问题。这段代码简洁易懂，并且经过了优化，能够处理大数据量。

#include 
#include 

using namespace std;

int main() {
    int t;
    cin >> t;

    while (t--) {
        long long p, a, b, c;
        cin >> p >> a >> b >> c;

        if (p % a == 0 || p % b == 0 || p % c == 0) {
            cout << 0 << endl;
            continue;
        }

        long long next_a = ((p + a - 1) / a) * a;
        long long next_b = ((p + b - 1) / b) * b;
        long long next_c = ((p + c - 1) / c) * c;

        long long wait_a = next_a - p;
        long long wait_b = next_b - p;
        long long wait_c = next_c - p;

        long long ans = min(wait_a, min(wait_b, wait_c));

        cout << ans << endl;
    }

    return 0;
}

代码解释：

• 头文件： 代码包含了 用于输入输出，以及 用于 min 函数。
• 命名空间： 使用 using namespace std; 简化代码。
• 主函数：
  • 读取测试用例的数量 t。
  • 使用 while 循环处理每个测试用例。
  • 读取四个整数 p, a, b, c。
  • 使用 if 语句检查 p 是否是 a, b, c 中至少一个数的倍数。如果是，则输出 0 并使用 continue 跳过当前循环。
  • 使用向上取整的技巧计算 next_a, next_b, next_c。
  • 计算等待时间 wait_a, wait_b, wait_c。
  • 使用 min 函数找到最小等待时间 ans。
  • 输出最小等待时间 ans。

SEO优化提示： 在代码注释中添加关键词，例如“测试用例”、“向上取整”、“最小等待时间”等，有助于提高代码的可搜索性。同时，确保代码的缩进和格式清晰，方便阅读和理解。

优化技巧：

• 数据类型选择： 由于输入数据可能很大（最大值为 10^18），因此使用 long long 数据类型来存储所有整数。
• 避免不必要的计算： 在计算最小等待时间之前，先检查 p 是否是 a, b, c 中至少一个数的倍数。这可以避免不必要的计算，并提高代码的效率。

通过应用这些优化技巧，可以使代码更加高效，并能够处理大数据量。

如何使用 C++ 代码解决游泳者问题

编译和运行 C++ 代码的步骤

要使用提供的 C++ 代码解决“三名游泳者”问题，您需要遵循以下步骤：

1. 准备编译环境：
   • 确保您的计算机上安装了 C++ 编译器。常见的选择包括 GCC (GNU Compiler Collection) 和 Clang。如果您使用的是 Windows 系统，可以考虑安装 MinGW 或 Visual Studio。
2. 创建 C++ 源文件：
   • 使用文本编辑器（例如 Notepad++, Visual Studio Code, Sublime Text）创建一个新的文件，并将提供的 C++ 代码复制到该文件中。
   • 将文件保存为 swimmers.cpp（或其他您喜欢的名称，但请确保使用 .cpp 扩展名）。
3. 编译代码：
   • 打开命令提示符或终端窗口，并导航到包含 swimmers.cpp 文件的目录。
   • 使用以下命令编译代码（假设您使用的是 GCC）：

     g++ swimmers.cpp -o swimmers

   • 这将创建一个名为 swimmers 的可执行文件。
4. 运行代码：
   • 在命令提示符或终端窗口中，使用以下命令运行可执行文件：

     ./swimmers

   • 代码将开始执行，并等待您输入测试用例。
5. 输入测试用例：
   • 首先，输入一个整数 t，表示测试用例的数量。
   • 对于每个测试用例，输入四个整数 p, a 和 b，c，以空格分隔。
   • 代码将计算最小等待时间，并将其输出到屏幕上。

示例：

假设您要测试以下测试用例：

2
9 5 4 8
10 5 4 8

您应该在命令提示符或终端窗口中看到以下输出：

1
0

这表示对于第一个测试用例，您需要等待 1 分钟，而对于第二个测试用例，您无需等待。

通过遵循这些步骤，您可以成功地编译和运行 C++ 代码，并解决“三名游泳者”问题。

提示：

• 确保您的 C++ 编译器已正确配置，并且可以在命令提示符或终端窗口中访问。
• 在输入测试用例时，请确保按照正确的格式输入数据，并使用空格分隔整数。
• 如果代码无法编译或运行，请检查代码是否存在语法错误或其他问题。

免费资源与付费课程

Codeforces平台与算法学习

要提升在Codeforces以及其他算法竞赛平台上的竞争力，可以充分利用各种免费和付费资源。对于算法初学者，可以从基础算法和数据结构入手，例如排序、搜索、链表、树等。Codeforces 本身提供了大量的题目，可以按照难度和类型进行练习。

此外，还有许多在线平台提供算法学习资源，例如 LeetCode、HackerRank 等。

对于希望系统学习算法和提高竞赛水平的选手，可以考虑参加一些付费课程或训练营。这些课程通常由经验丰富的算法竞赛选手或教练授课，能够提供更深入的讲解和更有效的训练方法。

免费资源：

• Codeforces 题目和博客
• LeetCode 题目和讨论区
• HackerRank 题目
• MIT 算法导论公开课
• YouTube 算法教学视频

付费资源：

• Coursera 算法专项课程
• Udacity 算法纳米学位
• 各种在线算法竞赛训练营

总结：三名游泳者问题的优缺点

? Pros

题目简单易懂：适合新手入门

解题思路清晰：能够锻炼逻辑思维

代码实现简洁：能够提高编程效率

适用性广泛：类似的思路可以应用于其他问题

? Cons

题目过于简单：对于高级选手来说缺乏挑战性

解法相对固定：缺乏创新性

需要注意数据类型：容易出现溢出问题

常见问题解答

如何提高解决Codeforces问题的能力？

提高解决Codeforces问题的能力需要系统性的学习和练习。首先，需要掌握常见的算法和数据结构，例如排序、搜索、图论、动态规划等。其次，需要进行大量的练习，通过解决不同类型的题目来提高解题速度和准确性。此外，还可以参考其他选手的代码和解题思路，学习他们的技巧和方法。 练习： 坚持每天刷题，保持对算法的敏感性。 学习： 阅读算法书籍和博客，学习新的算法和数据结构。 思考： 独立思考问题，尝试用不同的方法解决。 交流： 与其他选手交流，学习他们的经验和技巧。 最重要的是，保持对算法的热情和兴趣，享受解决问题的乐趣。

相关问题拓展

除了三名游泳者问题，还有哪些类似的算法竞赛题目？

算法竞赛中存在许多与“三名游泳者”问题类似的题目，它们通常涉及数学建模、优化和离散数学等概念。以下是一些例子： 最小公倍数问题： 找到多个数的最小公倍数。这与“三名游泳者”问题中的寻找倍数有相似之处。 时间调度问题： 如何安排多个任务的执行顺序，使得总完成时间最短或满足其他约束条件。这涉及到优化和调度算法。 资源分配问题： 如何将有限的资源分配给多个项目，使得总收益最大化。这需要使用动态规划或其他优化算法。 这些问题都具有一定的挑战性，需要灵活运用算法和数据结构知识来解决。 例如，假设有 N 个任务，每个任务需要一定的执行时间和完成时间。如何安排任务的执行顺序，使得所有任务都能在完成时间之前完成？这是一个典型的时间调度问题。 又例如，假设有 M 个项目，每个项目需要一定的资源和能够带来一定的收益。如何分配有限的资源，使得总收益最大化？这是一个典型的资源分配问题。 解决这些问题需要深入理解问题的本质，并选择合适的算法和数据结构。通过不断地练习和学习，可以提高解决复杂问题的能力。