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c++如何实现一个简单的布尔可满足性(SAT)求解器_c++ DPLL算法实践【算法】

尼克

发布： 2025-12-21 14:08:40

原创

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SAT问题是判断CNF公式是否存在使公式为真的变量赋值；DPLL是经典回溯+剪枝算法，含单位传播、纯文字消去和递归分支，C++实现用vector管理子句与赋值，变量从1开始编号，注意索引安全与状态回溯。

c++如何实现一个简单的布尔可满足性(sat)求解器_c++ dpll算法实践【算法】

什么是SAT问题和DPLL算法

布尔可满足性（SAT）问题是判断一个合取范式（CNF）公式是否存在一组变量赋值，使得整个公式为真。DPLL（Davis-Putnam-Logemann-Loveland）是求解SAT的经典回溯+剪枝算法，核心包括：单位传播（Unit Propagation）、纯文字消去（Pure Literal Elimination）和递归分支（Branching）。

用C++实现基础DPLL框架

我们不依赖外部库，用标准容器构建轻量结构。关键数据结构包括：

Clause：用std::vector表示，每个整数代表文字（正数=变量xᵢ，负数=¬xᵢ）
Formula：用std::vector存储所有子句
Assignment：用std::vector（-1=未赋值，0=假，1=真）记录当前变量状态

注意：变量编号从1开始，避免0造成歧义；内部统一用整数索引操作，提升效率。

核心步骤的C++实现要点

单位传播：扫描所有未满足子句，若某子句只剩一个未赋值文字，则必须令其为真以满足该子句。重复直到无新单位文字。

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冲突检测：若某子句中所有文字都被赋为假，说明当前路径不可行，返回false。

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分支策略：选一个未赋值变量（如最小编号），先尝试赋真，递归求解；失败则回溯，再试赋假。可用std::stack<:p style="color:#f60; text-decoration:underline;" title="ai" href="https://www.php.cn/zt/17539.html" target="_blank">air>辅助回溯状态保存。

纯文字消去可作为预处理步骤——若某变量只以一种极性出现（全为xᵢ或全为¬xᵢ），直接赋值使其对应文字为真，删去所有含它的子句。

完整可运行示例（简化版）

以下是一个能处理小规模CNF的最小可行代码片段（省略输入解析，聚焦算法逻辑）：

bool dpll(std::vector<Clause>& clauses, std::vector<char>& ass, int var) {
  // 单位传播
  while (unit_propagate(clauses, ass)) {}
  
  // 检查冲突
  if (has_conflict(clauses, ass)) return false;
  
  // 全部赋值完成
  if (is_complete(ass)) return true;
  
  // 分支：找第一个未赋值变量
  int next_var = find_unassigned(ass);
  ass[next_var] = 1;
  if (dpll(clauses, ass, next_var)) return true;
  
  ass[next_var] = 0;
  return dpll(clauses, ass, next_var);
}

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实际使用时建议加入简单启发式（如MOMS、JW），并用引用传递+就地修改避免拷贝开销。对大规模问题需引入更高级技术（如冲突驱动子句学习CDCL），但DPLL已足够理解SAT求解本质。

基本上就这些。不复杂但容易忽略细节——比如变量索引越界、重复传播、回溯时未恢复状态等，调试时建议加断言和小样例验证每步行为。

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