求平方根的核心是找到非负数x使x²=S，常用牛顿迭代法：xₙ₊₁=0.5(xₙ+S/xₙ)，收敛快；手算可用分组试商法；负数无实平方根因实数平方非负；估算可找邻近完全平方数夹逼，如√150≈12.24。
求一个数的平方根，核心在于找到一个非负数，它与自身相乘后等于我们想要开平方的那个数。这听起来简单，但实际操作起来，根据你需要的精度和场景，方法会大相径庭。你可以用计算器直接获取，也可以通过数学算法迭代逼近，甚至还有一些手算技巧。
要精确地求一个数的平方根，尤其是当它不是一个完全平方数时，我们通常会借助迭代算法。我个人觉得，要说最优雅、最能体现数学之美的，还得是牛顿迭代法。它那种不断逼近真相的感觉，简直是数学的浪漫。
牛顿迭代法的基本思想是：从一个初始猜测值开始，然后通过一个公式反复修正这个猜测，直到达到满意的精度。对于求一个数
S的平方根，它的迭代公式是：
x_n+1 = 0.5 * (x_n + S / x_n)
这里，
x_n是当前的猜测值，
x_n+1是下一个更精确的猜测值。
举个例子，我们想求
S = 25的平方根。
-
初始猜测
x_0
： 我们可以随便猜一个，比如x_0 = 5
(当然，这里我们知道答案，但实际情况可能不知道)。 -
第一次迭代：
x_1 = 0.5 * (5 + 25 / 5) = 0.5 * (5 + 5) = 0.5 * 10 = 5
你看，如果初始猜测就是答案，那一次迭代就搞定了。
再来一个不那么完美的例子，求
S = 2的平方根。
-
初始猜测
x_0
： 我们可以猜x_0 = 1
。 -
第一次迭代：
x_1 = 0.5 * (1 + 2 / 1) = 0.5 * (1 + 2) = 0.5 * 3 = 1.5
-
第二次迭代：
x_2 = 0.5 * (1.5 + 2 / 1.5) = 0.5 * (1.5 + 1.3333...) = 0.5 * 2.8333... = 1.4166...
-
第三次迭代：
x_3 = 0.5 * (1.4166... + 2 / 1.4166...) = 0.5 * (1.4166... + 1.4117...) = 0.5 * 2.8283... = 1.4142...
你看，很快就逼近了我们熟知的
√2 ≈ 1.41421356...。
如果你想用代码实现，Python 示例会是这样：
def sqrt_newton(S, tolerance=1e-7):
if S < 0:
raise ValueError("Cannot compute square root of a negative number for real numbers.")
if S == 0:
return 0
x = S # 初始猜测，可以用S本身，或者S/2，或者1，根据S的大小选择
while True:
next_x = 0.5 * (x + S / x)
if abs(x - next_x) < tolerance: # 当两次迭代结果非常接近时，认为达到精度
return next_x
x = next_x
# 示例
# print(sqrt_newton(25)) # 输出 5.0
# print(sqrt_newton(2)) # 输出 1.4142135623746899这个方法的妙处在于它的收敛速度非常快，每次迭代都能让结果的有效位数翻倍，所以非常高效。
手算平方根有哪些技巧？
记得小学数学课上，老师教过一个繁琐但很有效的方法，就是那个类似除法的笔算开平方。虽然现在有了计算器，但了解一下它的原理，能让人对数字的结构有更深的理解。这种方法的核心是把数字从小数点开始，向两边每两位一组进行分组，然后通过试商和减法逐步逼近。
我们以计算
√529为例：
-
分组： 从个位开始，向左每两位一组，
5
29
。如果整数部分是奇数位，最左边那组就只有一位。 -
第一组： 看第一组
5
。找到小于等于5
的最大完全平方数，是2^2 = 4
。- 商写
2
。 5 - 4 = 1
。
- 商写
-
下拉第二组： 将
29
拉下来，与余数1
组成129
。 -
试商： 将当前商
2
乘以2
得到4
。现在我们要找一个数字x
，使得(4x) * x
接近或小于129
。- 如果
x=1
，41 * 1 = 41
。 - 如果
x=2
，42 * 2 = 84
。 - 如果
x=3
，43 * 3 = 129
。 - 我们找到了
x=3
。
- 如果
-
完成： 将
3
写到商的后面，得到23
。129 - 129 = 0
。- 余数为
0
，计算完成。
所以，
√529 = 23。
这个方法虽然复杂，但它一步步揭示了平方根的结构，特别适合在没有电子工具时进行精确计算。对于非完全平方数，我们可以继续在小数点后分组，重复上述步骤来获得小数部分的精度。
为什么负数没有实数平方根？
这个问题初听起来很简单，但背后藏着实数域的根本限制。我们定义一个数的平方，就是它自己乘以自己。在实数范围内，任何数平方的结果都必然是非负的。
- 如果你取一个正数，比如
2
，2 * 2 = 4
(正数)。 - 如果你取一个负数，比如
-2
，(-2) * (-2) = 4
(正数)。 - 如果你取零，
0 * 0 = 0
(非负数)。
你看，无论你用哪个实数，它的平方都不会是负数。所以，当我们试图问“哪个实数乘以自己会得到
-4？”时，答案就是“没有这样的实数”。这就是为什么负数在实数域内没有平方根。
当然，数学家们为了解决这个问题，引入了虚数的概念。他们定义了一个新的数
i，使得
i^2 = -1。这样一来，负数就有了平方根，比如
√-4 = 2i。我记得刚接触虚数的时候，那种“突破”的感觉特别奇妙，好像打开了数学的另一扇窗，让原本无解的问题变得有了解答，也拓展了我们对数字世界的理解。但这已经超出了实数平方根的范畴了。
如何高效地估算一个数的平方根？
在没有计算器，或者需要快速判断一个数的大致范围时，估算能力就显得特别重要。我经常会用“夹逼”的方法，就是找它最近的两个完全平方数，这样心里就有个谱了。
最直接的估算方法就是寻找最近的完全平方数。
例如，我们想估算
√150：
- 我们知道
10^2 = 100
和11^2 = 121
。 12^2 = 144
。13^2 = 169
。
现在我们发现
150介于
144和
169之间。这意味着
√150介于
√144(即
12) 和
√169(即
13) 之间。
因为
150更接近
144(相差
6)，而不是
169(相差
19)，所以我们可以推断
√150会更接近
12。
进一步，如果你想更精确一点，可以在
12和
13之间做一个简单的线性插值：
√150 ≈ 12 + (150 - 144) / (169 - 144)
√150 ≈ 12 + 6 / 25
√150 ≈ 12 + 0.24 = 12.24
实际计算器给出的
√150 ≈ 12.247，我们的估算已经非常接近了。这种方法在日常生活中，比如粗略计算面积、距离或者需要快速判断数量级时，都非常实用。它不需要复杂的计算，只需要对一些常见完全平方数有基本的记忆即可。
